Question

已知3sin²α+2sin²β-2sinα=0，則cos²α+cos²β的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由已知中3sin²α+2sin²β-2sinα=0，根據一個數平方的非負性，我們可以判斷出sinα的取值范圍，進而利用同角三角形函數關系，將cos²α+cos²β表示成一個關于sinα的表達式，結合二次函數的性質和sinα的取值范圍，即可得到cos²α+cos²β的取值范圍．

解答：解：∵3sin²α+2sin²β-2sinα=0，
∴2sin²β=2sinα-3sin²α=sinα（2-3sinα）≥0
∴0≤sinα≤

2

3

∴cos²α+cos²β=cos²α+（1-sin²β）=cos²α+[1-

1

2

（2sinα-3sin²α）]=

1

2

sin²α-sinα+2=

1

2

（sinα-1）²+

7

4

當sinα=0時，cos²α+cos²β取最大值2；
當sinα=

2

3

，cos²α+cos²β取最小值

14

9

故cos²α+cos²β的取值范圍為[

14

9

，2]
故答案為：[

14

9

，2]

點評：本題考查的知識點是同角三角函數間的基本關系，二次函數的性質，其中根據已知條件判斷出sinα的取值范圍，是解答本題的關鍵．