Question

已知函數f（x）=x⁵+ax³+bx+1在x=1和x=2處取得極值．
（1）求a和b的值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）利用函數的導數在極值點處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（Ⅱ）將a，b的值代入導函數，令導函數大于0求出解集為遞增區間；令導函數小于0，求出解集為遞減區間．

解答：解：（1）因為f'（x）=5x⁴+3ax²+b，…（2分）
由已知得：f'（1）=5+3a+b=0．f'（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0，解得a=-

25

3

，b=20． …（5分）
（2）由（1）知f'（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²-1）（x²-4）
=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）．…（7分）
當x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）時，f'（x）＞0；
當x∈（-2，-1）∪（1，2）時，f'（x）＜0．…（9分）
因此f（x）的單調增區間是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞），f（x）的單調減區間是（-2，-1），（1，2）．  …（10分）

點評：本題考查函數的極值點處的導數值為0、考查函數的單調性與導函數的符號有關：導函數大于0時，函數遞增；導函數小于0時，函數遞減．