Question

將一塊圓心角為60°，半徑為20cm的扇形鐵電裁成一個矩形，求裁得矩形的最大面積．

Answer 1

分析：設∠PON=θ則可表示出PN和MN，進而根據矩形的面積公式表示出其面積表達式，利用三角函數的性質求得其最大值．

解答：解：如圖設∠PON=θ，則PN=20sinθ，MN=20cosθ-

20

3

sinθ，
S_MNPQ=20sinθ（20cosθ-

20

3

sinθ），
當θ=30°時，S_MNPQ取最大值

200 3

3

．
如圖（2），設∠FOA=θ，則EF=40sin（30°-θ），在△OFG中，∠OGF=150°，故

FG

sinθ

=

R

sin150°

即FG=40sinθ
設矩形的面積為S．
那么S_矩形EFFG=1600sinθsin（30°-θ）
=800[cos（2θ-30°）-cos30°]=800[cos（2θ-30°）-

3

2

]
又∵0＜θ＜30°，故當cos（2θ-30°）=1即θ=15°時，S取最大值400（2-

3

），顯然，

3

6

×400＞(2-

3

)×400，所以內接矩形的最大面積為

200 3

3

．

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型的問題．考查了考生運用所學知識解決實際問題的能力．