Question

在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanB=

3 ac

a2+c2-b2

且B為銳角．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，試求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在ABC中，由題意利用正弦定理求得sinB=

3

2

，再由B為銳角求得B的值．
（2）由（1）知 2R=

b

sinB

=2，再利用正弦定理化簡a+c為2

3

sin(A+

π

6

)，再根據A∈（0，

2π

3

）可得A+

π

6

的范圍，從而求得 sin（A+

π

6

），從而求得a+c的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：tanB=

3 ac

a2+c2-b2

=

3

2cosB

，∴

sinB

cosB

=

3

2cosB

，∴sinB=

3

2

．
∵B為銳角，∴B=

π

3

．        …（6分）
（2）由（1）知 2R=

b

sinB

=2，故a+c=2R(sinA+sinC)=2(sinA+sin(

2π

3

-A))=2

3

sin(A+

π

6

)．
又 A∈（0，

2π

3

），故A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]．
∴a+c∈(

3

，2

3

]，
∴a+c的取值范圍為（

3

，2

3

]．…（12分）

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，正弦函數的定義域、值域，屬于中檔題．