Question

如圖，已知M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點．
求證：（1）線段MP和NQ相交且互相平分；
（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

Answer 1

【答案】分析：（1）M、N、P、Q是相應邊的中點，由中位線定理易得MN∥AC，MN=AC．PQ∥CA，PQ=CA，從而知MNPQ是平行四邊形，對角線互相平分；
（2）由（1）知AC∥MN．由線面平行的判定定理易證AC∥平面MNP，同理BD∥NP，由線面平行的判定定理易證BD∥平面MNP．
解答：解：證明：（1）∵M、N是AB、BC的中點，∴MN∥AC，MN=AC．
∵P、Q是CD、DA的中點，∴PQ∥CA，PQ=CA．
∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四邊形．
∴□MNPQ的對角線MP、NQ相交且互相平分．

（2）由（1），AC∥MN．記平面MNP（即平面MNPQ）為α．顯然AC?α．
否則，若AC?α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，則A、B、C、D∈α，
與已知四邊形ABCD是空間四邊形矛盾．
又∵MNÌα，∴AC∥α，
又ACËα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
又∵BD∥NP，BD?平面MNP，NP?平面MNP
∴BD∥平面MNP．
點評：本題主要考查平行四邊形中的平行關系和線面平行的判定寶理，同時培養學生空間和平面的轉化化歸能力．