Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點，若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經過坐標原點，試判斷的面積是否為定值?若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值，

【解析】

（1）根據橢圓的離心率為，得到，又過點，得到 ，聯立求解.

（2）設，則.聯立直線與橢圓的方程，由于以為直徑的圓經過坐標原點，所以，即從而得到，再求得弦長

，點o到直線的距離，得到再求解..

（1）根據題意得，

解得

所以橢圓的方程為.

（2）設，則.

由于以為直徑的圓經過坐標原點，所以，即.

由， ，即，

由韋達定理得 ， .

代入，得，

，

原點到直線AB的距離為：.

所以

所以的面積為定值.