Question

（06年江西卷文）（12分）

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若在的方程中，令，．

設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為和．當(dāng)為何值時(shí)，為一個(gè)正三角形？

Answer 1

解析：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）

上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則

1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁¹x₂，

由（1）－（2）得

b²（x₁－x₂）2x＋a²（y₁－y₂）2y＝0

     

\b²x²＋a²y²－b²cx＝0…………（3）

2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）

故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²＋a²y²－b²cx＝0

（2）因?yàn)檐壽EH的方程可化為：

\M（，），N（ ，－），F(xiàn)（c，0），使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，則

tan＝＝，即a²＝3b². 由于，

，則1＋cosq＋sinq＝3 sinq，得q＝arctan