Question

（1）求與向量a=(2,-1,2)共線且滿足方程a·x=-18的向量x的坐標；
（2）已知A、B、C三點坐標分別為（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求點P的坐標使得=（-）；
（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a與b夾角的余弦值；
③確定，的值使得a+b與z軸垂直，且（a+b）·（a+b）=53.

Answer 1

（1）（-4，2，-4）（2）P點坐標為(5，，0)（3）

 （1）∵x與a共線，故可設x=ka，
由a·x=-18得a·ka=k|a|²=k（）²=9k，
∴9k=-18，故k=-2.
∴x=-2a=（-4，2，-4）.
（2）設P（x，y，z），則=（x-2，y+1，z-2），
=（2，6，-3），=（-4，3，1），
∵=（-）.
∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］
=（6，3，-4）=(3，，-2)
∴，解得
∴P點坐標為(5，，0).
（3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）
=3×2+5×1-4×8=-21.
②∵|a|==5,
|b|==,
∴cos〈a,b〉= ==-.
∴a與b夾角的余弦值為-.
③取z軸上的單位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.
依題意 
即
故 解得.