Question

求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
（1）焦點在 x軸上，虛軸長為12，離心率為 

5

4

；
（2）頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±

3

2

x．

Answer 1

分析：（1）由于雙曲線的焦點在x軸上，設所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．由題意，得出關于a，c的方程組即可解得a，c，結合b²=c²-a²求出b值，寫出雙曲線的方程即可；
（2）當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1得出關于a，b的方程組即可解得a，b，寫出雙曲線的方程即可；同理可求當焦點在y軸上雙曲線的方程．

解答：解：（1）焦點在x軸上，設所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由題意，得

2b=12 c a = 5 4 .

解得a=8，c=10．
∴b²=c²-a²=100-64=36．
所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為

x2

64

-

y2

36

=1．
（2）當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
由題意，得

2a=6 b a = 3 2

解得a=3，b=

3

2

．
所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為

x2

9

-

4y2

81

=1．
同理可求當焦點在y軸上雙曲線的方程為

y2

9

-

x2

4

=1．

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質等基礎知識，求雙曲線的標準方程，先確定標準方程的形式，再根據條件求出 a，b．