Question

【題目】橢圓 （）的離心率為，其左焦點到點的距離為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線 與橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的離心率和兩點間的距離公式可得的值，再利用橢圓的標準方程及其性質求出的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）把直線的方程與橢圓的方程聯立，可得根與系數的關系，在利用以為直徑的圓過橢圓的右頂點，可得，即可得出與的關系，即可得出答案．

試題解析：（1）由題：①

左焦點到點的距離為：②

由①②可解得，，．

所求橢圓的方程為．

（2）設、，將代入橢圓方程得

，

，，且，

為直徑的圓過橢圓右頂點，所以．

所以

．

整理得． 或都滿足．

若時，直線為，恒過定點，不合題意舍去；

若時，直線為，恒過定點．