Question

有一個茶葉廠，該廠的茶葉主要有兩種銷售方式，一種方式是賣給茶葉經銷商，另一種方式是在各超市的柜臺進行銷售，每年該廠生產的茶葉都可以全部銷售，該茶葉廠每年可以生產茶葉100萬盒，其中，賣給茶葉經銷商每盒茶葉的利潤y₁（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數關系如圖15所示；在各超市柜臺銷售的每盒利潤y₂（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數關系為：y2=

- 3 4 x+80 (0≤x＜40) 40 (40≤x≤100)

（1）寫出該茶葉廠賣給茶葉經銷商的銷售總利潤z₁（萬元）與其銷售量x（萬盒）之間的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（2）求出該茶葉廠在各超市柜臺銷售的總利潤z₂（萬元）與賣給茶葉經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（3）求該茶葉廠每年的總利潤w（萬元）與賣給茶葉經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式，并幫助該茶葉廠確定賣給茶葉經銷商和在各超市柜臺的銷量各為多少萬盒時，該公司的年利潤最大．

Answer 1

分析：（1）當0≤x＜60時，可直接得出該茶葉廠賣給茶葉經銷商的銷售總利潤z₁=5x，再根據當60≤x≤100時，每盒茶葉的利潤y₁（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數圖象過（60，5）（100，4）點，得出y₁=-

1

40

x+

13

2

，最后乘以其銷售量x即可得出答案；
（2）根據在各超市柜臺銷售的每盒利潤y₂（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數關系，用y₂乘以賣給各超市柜臺的銷售量即可得出答案；
（3）分別求出當0≤x＜40，40≤x＜60，60≤x≤100時該茶葉廠每年的總利潤w（萬元）與賣給茶葉經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式為，再分別求出此時最大利潤，即可得出所以該茶葉廠確定賣給各超市柜臺的銷量多少萬盒時，該公司的年利潤最大．

解答：解：（1）當0≤x＜60時，該食品廠賣給食品經銷商的銷售總利潤z₁=5，
∵當60≤x≤100時，每盒食品的利潤y₁（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數圖象過（60，5）（100，4）點，
∴當60≤x≤100時，y₁=-

1

40

x+

13

2

，
∴當60≤x≤100時，該食品廠賣給食品經銷商的銷售總利潤z₁=（=-

1

40

x+

13

2

）x=-

1

40

x²+

13

2

x．
（2）∵賣給食品經銷商的銷售量為x萬盒，
∴在各超市柜臺的銷售量為（100-x）萬盒，
∵在各超市柜臺銷售的每盒利潤y₂（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數關系為：y2=

- 3 4 x+80 (0≤x＜40) 40 (40≤x≤100)

，
∴當0≤100-x＜40，即60＜x≤100時，該食品廠在各超市柜臺銷售的總利潤z₂（萬元）與賣給食品經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式為：
z₂=[-

3

4

（100-x）+80]（100-x）=-

3

4

x²+70x+500，
當40≤100-x≤100，即0≤x≤60時，該食品廠在各超市柜臺銷售的總利潤z₂（萬元）與賣給食品經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式為：
z₂=40（100-x）=-40x+4000，
（3）當60＜x≤100時該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式為；
w=（-

1

40

x²+

13

2

x）+（-

3

4

x²+70x+500）=-

31

40

x²+

153

2

x+500，
∵拋物線開口向下，∴x=

1530

31

時，w的值最大，w=2387.82萬元，
當40≤x＜60時該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式為；
w=5x-40x+4000=-35x+4000，
∵該函數w隨x的增大而減小，
∴當x=0時，利潤最大，
此時的最大利潤為：-35×0+4000=4000（萬元），
當0≤x＜40時該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數關系式為：
w=5x+（-

3

4

x+80）（100-x），
=

3

4

x²-150x+8000，
∴當x=0時，利潤最大，
此時的最大利潤為8000（萬元），
∴該食品廠確定賣給各超市柜臺的銷量100萬盒時，該公司的年利潤最大．

點評：此題考查了二次函數的應用，此題中的數量關系較多，最大銷售利潤的問題常利用函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．