Question

某商場準備在倫敦奧運會期間舉行促銷活動．根據市場行情，該商場決定從3種品牌的服裝類商品、2種品牌的家電類商品、4種品牌的日用類商品中，任選出3種商品進行促銷活動．
（Ⅰ）求選出的3種商品中至少有一種是日用類商品的概率；
（Ⅱ）商場對選出的家電類商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該類商品成本價的基礎上每件提高180元作為售價銷售給顧客，同時給該顧客3次抽獎的機會，若中獎一次，就可以獲得一次獎金．假設該顧客每次抽獎時獲獎的概率都是

1

2

，每次中獎與否互不影響，且每次獲獎時的獎金數額都為x元，求顧客購買一件此類商品時中獎獎金總額ξ的分布列和數學期望Eξ，并以此測算x至多為多少時，此促銷方案使商場不會虧本？

Answer 1

分析：（I）設選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，利用間接法能求出選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率．
（Ⅱ）設顧客抽獎的中獎獎金總額為ξ，則ξ的可能取值為0，x，2x，3x，分別求出P（ξ=0），P（ξ=x），P（ξ=2x），P（ξ=3x），由此能求出顧客中獎次數的數學期望Eξ，從而能求出此促銷方案使商場不會虧本的每次中獎的獎金數額．

解答：解：（I）設選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，
則P（A）=1-

C 3 5

C 3 9

=

37

42

．
即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為

37

42

．
（Ⅱ）設顧客抽獎的中獎獎金總額為ξ，則ξ的可能取值為0，x，2x，3x，
P（ξ=0）=（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）=

1

8

，
P（ξ=x）=

C

1 3

(1-

1

2

)2×

1

2

=

3

8

，
P（ξ=2x）=

C

2 3

(1-

1

2

)×(

1

2

)2=

3

8

，
P（ξ=3x）=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
∴顧客中獎次數的數學期望Eξ=0×

1

8

+x×

3

8

+2x×

3

8

+3x×

1

8

=

3

2

x，
設商場將每次中獎的獎金額定為x元，則

3

2

x≤180，解得x≤120，
即該商場應將每次中獎的獎金數額至多定為120元，才能使商場不虧本．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．