Question

已知函數f（x）=

|lgx|，0＜x≤10 - 1 2 x+6，x＞10

，若函數y=f²（x）-2bf（x）+b-

2

9

有6個零點，則b的取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  3

  ，

  7

  9

  ）∪（

  2

  9

  ，

  1

  3

  ]
• B、（

  2

  3

  ，+∞）∪（-∞，

  1

  3

  ）
• C、（0，

  1

  3

  ）∪（

  2

  3

  ，1）
• D、（

  2

  9

  ，

  7

  9

  ）

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：利用換元法將函數轉化為關于t的一元二次函數，作出函數f（x）的圖象，利用一元二次方程根的分布，建立不等式關系即可得到結論．

解答： 解：設t=f（x），則函數等價為y=g（t）=t²-2bt+b-

2

9

．
作出函數f（x）的圖象如圖：
當t＞1或t＜0時，t=f（x）有1個零點，
當t=1或t=0時，t=f（x）有2個零點，
當0＜t＜1時，t=f（x）有3個零點，
若函數y=f²（x）-2bf（x）+b-

2

9

有6個零點，等價為方程t²-2bt+b-

2

9

=0有兩個根t₁，t₂，且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1，
則

△=4b2-4(b- 2 9 )≥0 g(0)=b- 2 9 ＞0 g(1)=1-2b+b- 2 9 ＞0 0＜- -2b 2 ＜1

，即

b≥ 2 3 或b≤ 1 3 b＞ 2 9 b＜ 7 9 0＜b＜1

，
解得

2

3

≤b＜

7

9

或

2

9

＜b≤

1

3

，
故選：A

點評：本題主要考查分段函數的應用，利用換元法，結合一元二次函數圖象和性質，利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．