Question

把正方形以邊所在直線為軸旋轉到正方形，其中分別為的中點.
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的大小.

Answer 1

（1）、（2）見解析；（3）.

本試題主要是考查了空間立體幾何中，線面平行的判定和線面垂直的判定以及運用空間向量法，或者幾何法求解二面角的綜合試題。熟練掌握線面平行和垂直度判定定理和性質定理，是解決該試題的關鍵。另外求解二面角的思路一般可以借助于三垂線定理來完成。
解：（1）設的中點為,連接
∵是的中點∴∥且          ……………(2分)
∵是的中點∴∥且，∴∥且
∴是平行四邊形，∴∥     
∵平面,平面，∴∥平面    ……………(4分)
（2） ∵ 為等腰直角三角形， ,且是的中點 
∴  ∵平面平面 ∴ 平面 
∴                                          ………………(6分)
設，則在中，，
則， ∴ 
∴ 是直角三角形，∴
∵  ∴平面…（8分）
（3）分別以為軸建立空間直角坐標系如圖，

設，則設,………(9分)
∵平面，∴ 面的法向量為= ……………(10分)
設平面的法向量為，∵ ,    
∴,  ， ∴, 
不妨設，可得                         ………………（11分）
，∴ =
∵ 二面角是銳角，∴ 二面角的大小..........（12分）