Question

(本小題滿分14分)設橢圓與拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上至少取兩個點，將其坐標記錄于下表中:
 
1)求，的標準方程, 并分別求出它們的離心率；
2)設直線與橢圓交于不同的兩點，且（其中坐標原點），請問是否存在這樣的直線過拋物線的焦點若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），，，。（2）。

試題分析：（1）∵焦點在x軸上，且橢圓與拋物線的中心與頂點在原點，又過點，
故點在橢圓上，點在拋物線上
，
∴點在上，
設
把點代入得，

由拋物線知
（2）由得
若l與x軸垂直，則l:x=1
由
設不滿足
若存在直線l不與x軸垂直，可設為
設
由

    

      
所求的直線為
點評：（1）做第一問的關鍵是確定哪兩個點在橢圓上，哪兩個點在拋物線上。（2）在求直線與圓錐曲線相交的有關問題時，通常采用設而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟為：設點→聯立方程→消元→韋達定理。