Question

已知向量

a．

b

.

c

.

d

．及實數x，y滿足|

a

|=|

b

|=1，

c

=

a

+（x-3）

b

，

d

=-y

a

+x

b，

若

a

⊥

b，

c

⊥

d

且|

c

|≤

10

．
（1）求y關于x的函數關系 y=f（x）及其定義域．
（2）若x∈（1、6）時，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

及|

a

|=|

b|

=1可求|

c

|，結合|

c

|≤

10

可求x的取值范圍，然后由

c

•

d

=0代入可求y與x之間的關系
（2）由x∈（1，6）時，則使f（x）≥mx-16恒成立，整理可得m+3≤x+

16

x

成立，構造函數g(x)=x+

16

x

，通過研究函數g（x）在區間x∈（1，6）上單調性可求函數g（x）的最小值，從而可求m的取值范圍

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，又|

a

|=|

b|

=1
∴|

c|

2=|

a

+(x-3)

b|

2=1+(x-3)2=x2-6x+10≤10
∴0≤x≤6
又∴

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=0，而∵

c

•

d

=[

a

+(x-3)

b]

[-y

a

+x

b]

=-y+x(x-3)=0
∴y=x²-3x（0≤x≤6）
（2）若x∈（1，6）時，則使f（x）≥mx-16恒成立，
即使x²-3x≥mx-16恒成立，也就是：m+3≤x+

16

x

成立．
令：g(x)=x+

16

x

在區間[0，4]遞減，在區間[4，+∞]遞增，
∴當x∈（1，6）時，g（x）min=g（4）=8∴m+3≤8即m≤5

點評：本題以平面向量的基本運輸為載體，考查了向量數量積的性質，函數恒成立問題的轉化及利用單調性求解函數的最值，體現了轉化思想在解題中的應用．