Question

已知橢圓：的左焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知兩點及橢圓:,過點作斜率為的直線交橢圓于兩點,設線段的中點為,連結,試問當為何值時,直線過橢圓的頂點?

(Ⅲ) 過坐標原點的直線交橢圓:于、兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結并延長交橢圓于，求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連接為坐標原點,為右焦點），由題意知：橢圓的右焦點為因為是的中位線，且,所以

所以，故…………2分

在中，

即,又,解得

所求橢圓的方程為．………………………4分

 (Ⅱ) 由（Ⅰ）得橢圓:

設直線的方程為并代入

整理得:

由得:   ……………………5分

設

則由中點坐標公式得:…………………6分

①當時,有,直線顯然過橢圓的兩個頂點;………7分

②當時,則,直線的方程為

此時直線顯然不能過橢圓的兩個頂點;

若直線過橢圓的頂點,則即

所以,解得:(舍去)………………………8分

若直線過橢圓的頂點,則即

所以,解得:(舍去)  ……………9分

 

綜上,當或或時, 直線過橢圓的頂點…………10分

（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為……………………………11分

根據(jù)題意可設，則

則直線的方程為…①

過點且與垂直的直線方程為…②

①②并整理得：

又在橢圓上，所以所以

即①、②兩直線的交點在橢圓上,所以．…………14分

法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為

根據(jù)題意可設，則，，

所以直線

，化簡得

所以

因為,所以,則……………12分

所以，則,即

【解析】略