Question

函數f（x）=（a，b是非零實常數），滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有且僅有一個解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在實常數m，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？為什么？
（3）在直角坐標系中，求定點A（-3，1）到此函數圖象上任意一點P的距離|AP|的最小值．

Answer 1

解：（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，
所以=1無解或有解為0，（3分）
若無解，則ax+b=1無解，得a=0，矛盾，
若有解為0，則b=1，所以a=． （6分）
（2）f（x）=，設存在常數m，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，則f（0）+f（m-0）=4，即=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4時，f（x）+f（-4-x）==…=4成立（充分性） （10分）
所以存在常數m=-4，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|²=（x+3）²+（）²，設x+2=t，t≠0，（13分）
則|AP|²=（t+1）²+（）²=t²+2t+2-+=（t²+）+2（t-）+2=（t-）²+2（t-）+10
=（ t-+1）²+9，（16分）
所以當t-+1=0時即t=，也就是x=時，
|AP|_min=3 （18分）
分析：（1）根據方程f（x）=x，可知x=0一定是方程=x的解，從而有方程=1無解或有解為0，再進行分類討論，可求a、b的值；
（2）由（1）知f（x）=，假設存在常數m，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，賦值x=0，，可求參數m的值，再驗證此時等式恒成立即可；
（3）先表示出|AP|²，再利用換元法，求解時整體考慮，利用配方法求解
點評：本題的考點是恒成立問題，主要考查方程解的問題，考查利用賦值法求解恒成立問題，考查函數的最值問題，關鍵是審清題意，合理轉化，注意賦值法求解恒成立問題時，應需要驗證其恒成立．