Question

已知函數 (R)．

(1)  當時，求函數的極值；

（2）若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.

（2）a的取值范圍是

解析:

（1）當時，，

∴. 

       令=0, 得 . 

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增. 

∴ 當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.

（2） ∵ = ，

∴△= =  .

① 若a≥1，則△≤0， 

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 . 

∵f（0），, 

∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵,∴.

∴

       

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞． 

          而當時,,

          故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.     

綜上所述，a的取值范圍是．