Question

【題目】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前15項(xiàng)和為（ ）

A. 110B. 114C. 124D. 125

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)的楊輝上三角形的第行，令，得到二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和，再結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

由題意，次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)的楊輝三角形的第行，

令，可得二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和，

其中第1行為，第2行為，第3行為， 以此類推，

即每一行的數(shù)字之和構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的對(duì)邊數(shù)列，

則楊輝三角形中前行的數(shù)字之和為，

若除去所有為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的數(shù)字的個(gè)數(shù)為

可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，

令，解得，

所以前15項(xiàng)的和表示前7行的數(shù)列之和，減去所有的1，即，

即前15項(xiàng)的數(shù)字之和為114，故選B.