Question

(理)無論m為任何實數,直線l:y=x+m與雙曲線C:=1(b＞0)恒有公共點.

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;

(2)若直線l經過雙曲線C的右焦點F與雙曲線C交于P、Q兩點,并且滿足=,求雙曲線C的方程.

(文)已知F₁、F₂分別為橢圓C:=1(a＞b＞0)的左、右焦點,直線l:y=2x+5與橢圓C交于兩點P₁、P₂,已知橢圓C的中心O關于直線l的對稱點恰好落在橢圓C的左準線上.

(1)求橢圓C的左準線的方程;

(2)如果a²是與的等差中項,求橢圓C的方程.

Answer 1

答案：(理)解：(1)把y=x+m代入曲線=1中,得b²x²-2(x+m)²-2b²=0,整理得(b²-2)x²-4mx-2(m²+b²)=0,當b²=2,m=0時直線與雙曲線無交點,這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾,∴b²≠2.∴e≠.

當b²≠2時,直線與雙曲線恒有公共點?Δ=16m²+8(b²-2)(m²+b²)≥0恒成立,即b⁴+b²(m²-2)≥0恒成立,

∵b²＞0,∴b²+(m²-2)≥0.∴b²≥2-m².∵e²==≥,m∈R,

∴()_最大=2.∴e²≥2,∴e≥.綜上所述,e∈(,+∞).

(2)設F(c,0),則直線l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程中,得b²(y+c)²-2y²-2b²=0,

整理得(b²-2)y²+2cb²y+b²c²-2b²=0,設兩交點為P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),

則y₁+y₂=,y₁y₂=,∵,∴y₂=5y₁.

∴6y₁=,5y₁²=.消去y₁,得.

∵b²＞0且c²-2=b²,∴=.∴b²=7.∴所求雙曲線C的方程為=1.

(文)解：(1)設O關于l的對稱點為(x₀,y₀),

∴解之,得x₀=-4.

∴橢圓C的左準線的方程為x=-4.

(2)設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),F₁(-c,0),F₂(c,0),∴=(x₁+c,y₁),=(x₂-c,y₂),=(c,0).

∴=c(x₁+c),=c(x₂-c).依題意,a²=c(x₁+c)+c(x₂-c)=c(x₁+x₂),

∴x₁+x₂=·.∵=4,∴x₁+x₂=.

∴a²=4c.∴b²=4c-c².∴橢圓C的方程可以化為=1.

由(20-c)x²+80x+100-16c+4c²=0.

∴x₁+x₂=.∴=.解之,得c=2.∴a²=8,b²=4.

∴所求橢圓C的方程為=1.