Question

已知橢圓C 的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為，且點(diǎn)在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，橢圓C 的長軸為AB，設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，點(diǎn)Q 滿足，直線AQ與過點(diǎn)B 且垂直于x 軸的直線交于點(diǎn)M，．求證：∠OQN為銳角．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率，及點(diǎn)在該橢圓上滿足橢圓的方程與a²=b²+c²即可求出；
（2）設(shè)P（x，y）（-2＜x＜2），由A（-2，0），PQ=HP，得到Q（x，2y），進(jìn)而得到直線AQ的方程為．令x=4即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；再根據(jù)向量共線即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，只要證明且三點(diǎn)O，Q，N不共線即可得到∠OQN為銳角．
解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，
由題意可得 ，
又a²=b²+c²，∴4b²=a²．
∵橢圓C經(jīng)過，代入橢圓方程有   ，
解得b²=1．∴a²=4，
故橢圓C的方程為  ．
（2）設(shè)P（x，y）（-2＜x＜2），
∵A（-2，0），
∵PQ=HP，∴Q（x，2y），
∴直線AQ的方程為．   
令x=2，得．
∵B（2，0），，
∴．
∴，．
∴
∵，
∴
∴．
∵-2＜x＜2，
∴．
又O、Q、N不在同一條直線，
∴∠OQN為銳角．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、向量相等于共線及夾角等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．