Question

如圖，三棱柱中，側棱與底面垂直，，，分別是的中點

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求三棱錐的體積的體積．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）.

試題分析：本題主要以三棱柱為幾何背景考查線面平行、線面垂直和幾何體體積等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，先根據題意作出輔助線，在中，利用中位線的性質得，再由線面平行的判定，得證；第二問，由已知條件可以判斷四邊形是正方形，所以對角線互相垂直，所以，又由于第一問得，所以，再由已知證即可，由已知邊長，得，所以，所以為等腰三角形，而為中點，所以為高，得證，再利用線面垂直的判定即可得證；第三問，利用等體積法將三棱錐進行轉化，找到已知條件求體積.
試題解析：（1）證明：連結，顯然過點
∵分別是的中點,    ∴，
又平面，平面，∴平面，
（2）∵三棱柱中，側棱與底面垂直，，
∴四邊形是正方形，∴，
由（1）知，∴，
連結，由，知，
∴，又易知是的中點，∴，
∴平面.
（3）因為，所以三棱錐與三棱錐的體積相等，
故.