Question

已知拋物線D的頂點是橢圓C：＝1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點．
①若直線l的斜率為1，求MN的長；
②是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

(1)y²＝4x（2）①②存在直線m：x＝3滿足題意

(1)由題意，可設拋物線方程為y²＝2px(p>0)．由a²－b²＝4－3＝1，得c＝1，∴拋物線的焦點為(1，0)，∴p＝2.∴拋物線D的方程為y²＝4x.
(2)設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．
①直線l的方程為y＝x－4，聯立整理得x²－12x＋16＝0，即M(6－2，2－2)，N(6＋2，2＋2)，∴MN＝.
②設存在直線m：x＝a滿足題意，則圓心E，過E作直線x＝a的垂線，垂足為E′，設直線m與圓E的一個交點為G.可得|E′G|²＝|EG|²－|EE′|²，即|E′G|²＝|EA|²－|EE′|²＝＝＋＋a(x₁＋4)－a²＝x₁－4x₁＋a(x₁＋4)－a²＝(a－3)x₁＋4a－a².當a＝3時，|E′G|²＝3，此時直線m被以AM為直徑的圓E所截得的弦長恒為定值2，因此存在直線m：x＝3滿足題意