Question

已知 

e1

、

e2

是夾角為

2π

3

的兩個單位向量，

a

=

e1

-2

e2

，

b

=k

e1

+

e2

，若向量

a

、

b

的夾角為鈍角，則實數k的取值范圍為

k＜

5

4

且k≠-

1

2

．

Answer 1

分析：根據題意，|

e1

|=|

e2

|=1，且

e1

•

e2

=-

1

2

．因為向量量

a

、

b

的夾角為鈍角，所以

a

、

b

的數量積小于0，且向量

a

、

b

不共線，由此建立不等式組，代入前面算出的數據并化簡整理，即可解出實數k的取值范圍．

解答：解：∵向量

e1

、

e2

是夾角為

2π

3

的兩個單位向量，
∴|

e1

|=|

e2

|=1，且

e1

•

e2

=|

e1

|×|

e2

|cos

2π

3

=-

1

2

∵

a

=

e1

-2

e2

，

b

=k

e1

+

e2

，向量

a

、

b

的夾角為鈍角
∴向量

a

、

b

的數量積小于0，且向量

a

、

b

不共線
可得

( e1 -2 e2 )(k e1 + e2 )＜0 k×(-2)≠1×1

，即

k e1 2+(1-2k) e1 • e2 -2 e2 2＜0 k≠- 1 2

將

e1

2=

e2

2=1和

e1

•

e2

=-

1

2

代入不等式，解之得k＜

5

4

且k≠-

1

2

故答案為：k＜

5

4

且k≠-

1

2

點評：本題給出兩個關于單位向量線性組合的向量，在已知它們夾角為鈍角的基礎上求參數k的范圍，著重考查了平面向量數量積的定義與運算性質等知識，屬于基礎題．