Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（Ⅰ）如果函數g（x）的單調遞減區間為（-

1

3

，1），求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數的單調區間可知-

1

3

，1是導函數所對應方程的兩個根，從而可求出a的值；
（Ⅱ）2xlnx≤3x²+2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立將a分離可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，利用導數研究h（x）的最大值，可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）g′（x）=3x²+2ax-1
由題意3x²+2ax-1＞0的解集是（-

1

3

，1），即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≤3x²+2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立
即a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，
設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(3x+1)(x-1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性以及利用導數研究函數在某點切線方程，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于難題．