Question

如圖，已知為平行四邊形，，，，點在上，，，交于點，現將四邊形沿折起，使點在平面上的射影恰在直線上．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求折后直線與直線所成角的余弦值;

(Ⅲ) 求三棱錐的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，

∴EF⊥平面BDN，

∴BC⊥平面BDN，∴BC⊥BD

設D在平面BCEF上的射影O在直線BC上

則BC⊥BO

∴D在平面BCEF上的射影O即為點B，即BD⊥平面BCEF. 　　--------4分

（Ⅱ）在線段BC上取點M，使BM=FN，則MN//BF

∴∠DNM或其補角為DN與BF所成角。

又MN=BF=2，     DM=，。

∴

∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為。

（Ⅲ）∵AD//EF，

∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，

∴

即所求三棱錐的體積為.　　　　　　　　　　　　　　　--------12分