Question

【題目】設拋物線C：y2=4x焦點為F，直線l與C交于A，B兩點．

（1）若l過F且斜率為1，求|AB|；

（2）若不過坐標原點O，且OA⊥OB，證明：直線l過定點．

Answer 1

【答案】（1）8（2）見證明

【解析】

（1）由題意寫出直線的方程，與拋物線方程聯立消去y，得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系和拋物線的定義求出|AB|的值；

（2）可設直線的方程為x=my+a，A（x1，y1），B（x2，y2），由得關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系和平面向量的坐標運算法則求出a的值，再判斷直線l恒過定點．

（1）由題意，拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），直線l過點F且斜率為1，

則的方程為y=x-1，設A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消去y，得x2-6x+1=0，

又△=（-6）2-4×1×1=32＞0，且x1+x2=6，

∴|AB|=x1+x2+2=8；

（2）直線的斜率不為0時，可設直線的方程為x=my+a（a≠0），

設A（x1，y1），B（x2，y2）；

由，消去x，得y2-4my-4a=0，則y1y2=-4a；

又x1=,x2=，∴x1x2===a2，

又∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，即a2-4a=0，

又∵a≠0，∴a=4，

∴直線l：x=my+4恒過定點M（4，0）．