Question

以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設(shè)某商店每月購進這種商品m件，且當(dāng)月售完，請分別寫出該商品的出廠價格函數(shù)、銷售價格函數(shù)、盈利函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：將出廠價格函數(shù)設(shè)為 f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+k₁，x∈[0，12]，銷售價格函數(shù)設(shè)為g（x）=A₂sin（ω₂x+φ₂）+k₂，x∈[0，12]，根據(jù)已知將A₁ A₂ ω₁ ω₂  k₁ k₂分別求出，再根據(jù)盈利=m×（銷售價格-出廠價格），求得盈利函數(shù)．

解答：解：設(shè)出廠價格函數(shù)為 f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+k₁，x∈[0，12]
銷售價格函數(shù)為g（x）=A₂sin（ω₂x+φ₂）+k₂，x∈[0，12}
由題設(shè)，A₁=

8-4

2

=2，k₁=6
ω₁=

2π

4×2

=

π

4

    A₂=

10-6

2

=2  K₂=8ω₂=

2π

4×2

=

π

4

將（3，8）代入f（x）可得 2sin（

π

4

×3+φ₁）+6=8 得φ₁=-

π

4

+2kπ，k∈Z
將（5，10）代入g（x）可得 2sin（

π

4

×5+φ₂）+8=10 得φ₂=-

3π

4

+2kπ，k∈Z
故 出廠價格函數(shù)為 f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6，x∈[0，12}
銷售價格函數(shù)為g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+8，x∈[0，12}
又設(shè)盈利函數(shù)為H（x）則，H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（

π

4

x-

3π

4

）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]x∈[0，12}
即盈利函數(shù)為H（x）=2m[sin（

π

4

x-

3π

4

）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]x∈[0，12}
∴該商品的出廠價格函數(shù)為 f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6，x∈[0，12}
銷售價格函數(shù)為g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+8，x∈[0，12}
盈利函數(shù)為H（x）=2m[sin（

π

4

x-

3π

4

）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]x∈[0，12}

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是y=Asin（wx+φ）的圖象性質(zhì)及其實際意義，解題時要認真分析，仔細辨別．