Question

規(guī)定，其中x∈R，m是正整數(shù)，且=1，這是組合數(shù) (n、m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣。

(I)求的值。

(II)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；①；②。是否都能推廣到 (x∈R，m是正整數(shù))的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由；

(III)已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，∈Z。

Answer 1

解析：(I)

　(II)性質(zhì)①不能推廣,例如當(dāng)x=時(shí)，有定義，但無(wú)意義；

　　性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是，x∈R，m是正整數(shù)，事實(shí)上

　當(dāng)m=1時(shí)，有，

當(dāng)m≥2

==

　(III)當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)∈Z。

　　當(dāng)0≤x<m時(shí)， =0∈Z。

　　當(dāng)x<0時(shí)，∵-x+m-1>0，

　　∴∈Z