Question

設f（x）的定義域（0，+∞），對于任意正實數m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且當x＞1時，f(x)＞0，f(

1

2

)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）解關于x的不等式f(x)≥2+f(

p

x-4

)，其中p＞-1．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，對于任意正實數m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 m=2，n=

1

2

，即可求出 f(

1

2

)的值；
（2）先在定義域內任取兩個值x₁，x₂，并規定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關系，根據單調增函數的定義可知結論；
（3）將f(x)≥2+f(

p

x-4

)轉化為f(x)≥f(

4p

x-4

)，然后根據函數的單調性和定義域建立關系式，解之即可．

解答：解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=

1

2

，則 f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f（2）=1（4分）
（2）設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
∵當x＞1時，f（x）＞0
∴f(

x2

x1

)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數（10分）
（3）∵f（2）=1得2=f（2）+f（2）=f（4）
又f(x)≥2+f(

p

x-4

)
可化為：f(x)≥f(

4p

x-4

)
由y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
原不等式可化為：

x≥ 4p x-4 4p x-4 ＞0

當p＞0時，解之得：x≥2+2

1+p

．
當-1＜p＜0時，解之得：2-2

1+p

≤x≤2+2

1+p

．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數單調性的判斷、證明及應用，屬于中檔題．