Question

(本小題滿分12分)已知函數（m為常數，且m>0）有極大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率為的直線是曲線的切線，求此直線方程．

Answer 1

m＝2.，5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m．   …………2分
當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		極大值		極小值

從而可知，當x=－m時，函數f(x)取得極大值9，
即f(－m)＝－m³+m³+m³+1="9,  "                                   …………6分
∴m＝2.                                                   …………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1, 依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，
∴x＝－1或x＝－.                                           …………9分
又f(－1)＝6，f(－)＝，                                  …………10分
所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即所求的直線方程為： 5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0 .      …………12分