Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PDC為正三角形，且面PDC⊥面ABCD，E為PC中點．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求二面角D-PB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質證明PA∥OE，利用線面平行的判定定理證明PA∥平面BDE；
（2）利用面面垂直的性質，證明BC⊥平面PDC，利用線面垂直的判定定理證明DE⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理證明平面BDE⊥平面PBC；
（3）過E作EH⊥PB，垂足為H，連接DH，則DH⊥PB，可得∠DHE為二面角D-PB-C的平面角，從而可求二面角D-PB-C的正切值．

解答：（1）證明：連結AC交BD于O，連接OE，則O是AC的中點又E為PC的中點，∴PA∥OE．
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）證明：∵正三角形PDC中，點E是PC的中點
∴DE⊥PC
∵正方形ABCD中，BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD
∴BC⊥平面PDC
∴BC⊥DE
∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC
∵DE?平面EDB
∴平面EDB⊥平面PBC；
（3）解：過E作EH⊥PB，垂足為H，連接DH，則DH⊥PB
∴∠DHE為二面角D-PB-C的平面角
設正方形ABCD和正△PDC的邊長為2，則在Rt△DEH中，DE=

3

∵EH=

1 2 S△PBC

1 2 PB

=

1 2 PC•BC

PC2+BC2

=

2

2

∴tan∠DHE=

DE

EH

=

3

2 2

=

6

∴二面角D-PB-C的正切值是

6

．

點評：本題考查線面平行的判定，面面垂直的判定與性質，考查二面角的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．