Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1的正方體，四棱錐P-A₁B₁C₁D₁中，P∈平面DCC₁D₁，PC₁=PD₁=

5

2

．
（1）求證：平面PA₁B₁∥平面ABC₁D₁；
（2）求直線PA₁與直線BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過作輔助線，利用面面平行的判定定理進行證明平面PA₁B₁∥平面ABC₁D₁；
（2）根據A₁D₁∥BC，將直線PA₁與直線BC所成的角，轉化為A₁D₁與PA₁所成的角即可．

解答：解：（1）因為P∈平面DCC₁D₁，PC₁=PD₁=

5

2

．
所以三角形PC₁D₁是等腰三角形，所以PE=

( 5 2 )2-( 1 2 )2

=1，
取C₁D₁的中點E，連結PE并延長交CD于F，
取AB的中點H，A₁B₁的中點G，連結PG，GH，HE，
則PE∥GH．且PE=GH=1，所以四邊形PGHE為平行四邊形，
所以GP∥HE，
又因為A₁B₁∥AB，且A₁B₁∩GP=G，
所以平面PA₁B₁∥平面ABC₁D₁．
（2）因為在正方體中，A₁D₁∥BC，
所以A₁D₁與PA₁所成的角即為直線PA₁與直線BC所成角．
在直角三角形PA₁D₁中，PD₁=

5

2

，A₁D₁=1，所以PA₁=

( 5 2 )2+12

=

9 4

=

3

2

．
所以cos∠PA₁D₁=

A1D1

PA1

=

1

3 2

=

2

3

．
即直線PA₁與直線BC所成角的余弦值為

2

3

．

點評：本題主要考查空間面面平行的判定，以及空間異面直線所成角的求法，要求熟練掌握面面平行的判定定理．