Question

已知橢圓c：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，上頂點A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周長為6．
（1）求橢圓C的標準方程及離心率；
（2）O為坐標原點，P是直線F₁A上的一個動點，求|PF₂|+|PO|的最小值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的定義和△AF₁F₂周長為6，建立關于a、b、c的方程組，解之得a=2、b=

3

且c=1，即可得到橢圓C的標準方程，用離心率的公式即可得到該橢圓的離心率；
（2）設直線AF₁的方程為y=

3

（x+1），求出原點O關于直線AF₁的對稱點M的坐標為（-

3

2

，

3

2

），從而得到|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|=

7

，再由MF₂的方程y=-

3

5

（x-1）與AF₁方程聯解，即可得到此時點P的坐標．

解答：解：（1）由題意，得

a=2c a+a+2c=6 a2=b2+c2

，解之得a=2，b=

3

，c=1
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率e=

1

2

；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直線AF₁的斜率為k=tan

π

3

=

3

∴直線AF₁的方程為y=

3

（x+1）
設點O關于直線AF₁的對稱點為M（m，n），則

n m • 3 =-1 n 2 = 3 ( m 2 +1)

，
解之得m=-

3

2

，n=

3

2

，可得M坐標為（-

3

2

，

3

2

），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|=

(- 3 2 -1)2+( 3 2 -0)2

=

7

直線MF₂的方程為y=

3 2 -0

- 3 2 -1

（x-1），即y=-

3

5

（x-1）
由

y=- 3 5 (x-1) y= 3 (x+1)

解得

x=- 2 3 y= 3 3

，所以此時點P的坐標為（-

2

3

，

3

3

）．
綜上所述，可得求|PF₂|+|PO|的最小值為

7

，此時點P的坐標為（-

2

3

，

3

3

）．

點評：本題在已知橢圓上頂點與焦距構成正三角形的周長情況下，求橢圓的標準方程并依此求一個距離和的最小值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質和運用對稱解決距離之和最小值等知識，屬于中檔題．