Question

已知f(x)=x+

m

x

(m∈R)，
（1）若函數y=log

1

2

[f(x)+2]在區間[1，+∞）上是增函數，求實數m的取值范圍．
（2）若m≤2，求函數g（x）=f（x）-lnx在區間[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據已知f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，說明其導數f′（x）在區間[1，+∞）上是大于0的，再利用常數分離法求出實數m的取值范圍；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），對g（x）進行求導，求出極值點，此時需要對m進行討論，利用導數研究g（x）的最值問題；

解答：解：（1）由條件得到f（x）在區間[1，+∞）上是減函數且f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，
f′（x）=1-

m

x2

≥0?m≤x²，在區間[1，+∞）上恒成立，得到m≤1，
f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，得到m＞-3，
所以實數m的取值范圍是：（-3，1]…6分
（2）g（x）=x+

m

x

-lnx，則g′（x）=1-

m

x2

-

1

x

=

(x- 1 2 )2-(m+ 1 4 )

x2

，
（一）若m≤-

1

4

時，g′（x）≥0，g（x）是[

1

2

，2]上的增函數，
所以g(x)min=g(

1

2

)=

1

2

+2m+ln2…（9分）
（二）若-

1

4

≤m≤2時，由g′（x）=0
得到x1=

1

2

-

m+ 1 4

(＜

1

2

)，x2=

1

2

+

m+ 1 4

(∈[

1

2

，2])，
且x∈[

1

2

，x2]時，g′（x）≤0，x∈[x₂，2]時，g′（x）≥0，
所以g(x)min=g(x2)=

1

2

+

m+ 1 4

+

m

1 2 + m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)=2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)；…（12分）

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，此題還考查了分類討論的思想，此題是一道中檔題；