Question

已知函數f（x）=x³+mx²-m²x+1（m為常數，且m＞0）有極大值9，求m的值及f（x）的極小值．

Answer 1

分析：先求出導函數，得出導函數等于0的兩個根，列出x，f′（x），f（x）的變化情況的表格，求出極大值，列出方程求出m的值，進而可求f（x）的極小值．

解答：解：求導函數f′（x）=3x²+2mx-m²=（x+m）（3x-m）=0，則x=-m或x=

1

3

m，
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

從而可知，當x=-m時，函數f（x）取得極大值，當x=

1

3

m時，有極小值
∵函數f（x）取得極大值9，
∴f（-m）=-m³+m³+m³+1=9，解得m=2．
∴函數的解析式為f（x）=x³+2x²-4x+1
當x=

1

3

m時，有極小值f(

m

3

)=-

13

27

．

點評：本題的考點是利用導數研究函數的極值，考查導數的運用．利用導數求函數的極值的步驟：求出導數；令導數為0求出根；列出表格判斷根左右兩邊導函數的符號；求出極值．