Question

某種汽車購買時費用為16.9萬元，每年應交付保險費及汽油費共1萬元；汽車的維修費第一年為1千元，以后每年都比上一年增加2千元．
（Ⅰ）設使用n年該車的總費用（包括購車費用）為S_n，試寫出S_n的表達式；
（Ⅱ）求這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年平均費用最少）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）使用n年該車的總費用S_n等于購車費用加上n年應交付保險費及汽油費共n萬元，再加上n年的維修費用，n年的維修費是以0.1為首項，0.2為公差的等差數列，利用等差數列求和后合并即可；
（Ⅱ）該車每一年的平均費用等于n年的總費用除以年數，然后利用基本不等式求最小值．

解答：解：（Ⅰ）依題意S_n=16.9+（0.1+0.3+0.5+0.7+…+（0.2n-0.1））+n
=16.9+

(0.1+0.2n-0.1)n

2

+n=0.1n²+n+16.9；
（Ⅱ）設該車的年平均費用為S萬元，則有
S=

1

n

Sn=

1

n

(0.1n2+n+16.9)=

n

10

+

16.9

n

+1≥2

1.69

+1=3.6．
當且僅當

n

10

=

16.9

n

，即n=13時，等號成立．
故：汽車使用13年報廢為宜．

點評：本題考查了數列求和，考查了數列的函數特性，訓練了利用基本不等式求函數最值，利用基本不等式求最值時注意等號成立的條件，是中檔題．