Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因為BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.
如圖，以點C為坐標原點，分別以直線CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

在Rt△ABC中，因為AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
因為PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．
設平面BCP的法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，則所以
不妨令y₁＝1，則n₁＝(0,1，－1)．因為＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，
設平面ABP的法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)，則所以 
不妨令x₂＝1，則n₂＝(1，，0)．于是cos〈n₁，n₂〉＝＝.
由題圖可判斷二面角為銳角，所以二面角C－PB－A的余弦值為.