Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC 把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示，點E，F分別為線段PC，CD的中點．
（I） 求證：平面OEF∥平面APD；
（II）求直線CD⊥與平面POF
（III）在棱PC上是否存在一點M，使得M到點P，O，C，F四點的距離相等？請說明理由．

Answer 1

解：（I）∵點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AC．
∵AB=BC，
∴O是AC的 中點，
∴OE∥PA．
同理OF∥AD．
又OE∩OF=O，PA∩AD=A，
∴平面OEF∥平面PDA．
（II）∵OF∥AD，AD⊥CD，
∴OF⊥CD，
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴PO⊥CD，
又OF∩PO=O，
∴CD⊥平面POF．
（III）存在，事實上記點E為M即可，
∵CD⊥平面POF，PF?平面POF，
∴CD⊥PF，
又M為PC中點，∴EF=，
同理，在直角三角形POC中，EP=EC=OE=，
∴點E到四個點P，O，C，F的距離相等．
分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質定理可得PO⊥平面ABC，再利用等腰三角形的性質可得O是AC的 中點，利用三角形的中位線定理即可得出OE∥PA，OF∥AD，再利用面面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）線線平行的性質可得OF⊥CD，利用線面垂直的性質定理可得PO⊥CD，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅲ）利用線面垂直的性質定理可得CD⊥PF，再利用直角三角形的斜邊上中線的性質即可證明．
點評：熟練掌握面面垂直的性質定理、等腰三角形的性質、三角形的中位線定理、面面平行的判定定理、線線平行的性質、線面垂直的判定與性質定理、直角三角形的斜邊上中線的性質是解題的關鍵..