Question

【題目】在四棱錐中，平面平面PCD，底面ABCD為梯形，，，M為PD的中點，過A，B，M的平面與PC交于N.，，，.

（1）求證：N為PC中點；

（2）求證：平面PCD；

（3）T為PB中點，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）45°

【解析】

（1）利用線面平行的性質可得，又由M為PD的中點，即可求證N為PC中點；

（2）利用面面垂直的性質，可過點作,可證，再結合線面垂直的判定定理即可求證；

（3）采用建系法以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出二面角的大小

（1），平面，平面，平面，

由線面平行的性質可得，，

又，，

M為PD的中點，為PC的中點；

（2）過點作交與點，

又平面平面PCD，交線為，故平面，

又平面，，

又，，平面PCD；

（3）由（2）可知平面PCD，，故以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖：

求得，

為的中點，故，，，

可設平面的法向量為，平面的法向量為，故有，取得，則，故

，故二面角的大小為45°