Question

在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=

3

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BC，點D是BC邊的中點，點E是線段AD上一點，且AE=4DE，點M是線段SD上一點．
（1）求證：BC⊥AM；
（2）若AM⊥平面SBC，求證EM∥平面ABS．

Answer 1

分析：對（1），通過證明線面垂直⇒線線垂直即可；
對（2），將空間幾何問題轉化為平面幾何問題，在△SAD中利用M、E分線段SD、AD成等比例，
證明ME與SA平行，再由線線平行⇒線面平行．

解答：證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，
∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD
∵AM?平面SAD，
∴BC⊥AM．
（2）∵AM⊥面SBC，SD?平面SBC⇒AM⊥SD，
∵SA=AB=AC=

3

3

BC，可設BC=3，SA=

3

在△ABC中，cos∠A=

3+3-9

2× 3 × 3

=-

1

2

，∴∠A=

2π

3

∴AD=

3

2

．
在Rt△SAD中，

SA

AD

=2=

AM

MD

=

SM

AM

，∴SM=4MD，∵AE=4ED，

∴ME∥SA，ME?平面ABS，SA?平面ABS．
∴EM∥平面ABS．

點評：本題考查直線與平面平行、垂直的判定．利用平面幾何知識證明線線平行是本題證明（II）的關鍵；另：將空間幾何問題轉化為平面幾何問題是解決問題的常用方法．