Question

【題目】設a1 ， a2 ， …，an為1，2，…，n按任意順序做成的一個排列，fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的個數（k=1，2，…，n），規定fn=g1=0，例如：對于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0
（I）對于排列4，2，5，1，3，求
（II）對于項數為2n﹣1 的一個排列，若要求2n﹣1為該排列的中間項，試求的最大值，并寫出相應得一個排列
（Ⅲ）證明=

Answer 1

【答案】解：（I）∵排列4，2，5，1，3，
fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數，
∴f1=3，f2=1，f3=2，f4=0，f5=0，
∴=3+1+2+0+0=6．
（II）當項數為2n﹣1 的一個排列，
2n﹣1為該排列的中間項，前面有n項，后面有n項，
∴要求的最大值，只要使得排列滿足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2n﹣1的后面，
∴g1=0，g2=1，g3=2，…g2n﹣1=2n﹣2，
∴的最大值是=（2n﹣1）（n﹣1）
比如舉一個包含7項的數列：6，5，4，7，3，2，1
（III）∵fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數，
而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的個數（k=1，2，…，n），
規定fn=g1=0，
∴fn﹣1=g2
fn﹣2=g3
…
∴f1=gn ．
∴=
【解析】（I）直接按定義來操作，根據fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數，看出符合條件的元素的個數，得到結果．
（II）（II）當項數為2n﹣1 的一個排列，2n﹣1為該排列的中間項，前面有n項，后面有n項，要求的最大值，只要使得排列滿足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2n﹣1的后面，得到結果．
（III）fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的個數（k=1，2，…，n），規定fn=g1=0，依次得到fn﹣1=g2 ， …，得到各項之和相等．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．