Question

請考生注意：重點高中學生做（2）（3）．一般高中學生只做（1）（2）．
已知函數
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當a＞0時，討論f（x）的單調性；
（3）當時，設g（x）=x²-bx+1，若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數
∴f′（x）=
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
∴
∴6-8a=0
∴a=；
（2）若a=1時，，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數；
若a≠1時，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=
①若，則a≥1，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數；
②若0，即0＜a＜1時
（Ⅰ）0＜時，1，在（0，），（1，+∞）上為增函數，在（，1）上為減函數
（Ⅱ）時，在（0，1），（，+∞）上為增函數，在（1，）上為減函數
（Ⅲ）時，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上恒為增函數．
（3）當時，由（1）知，函數在 （0，1）是增函數，在（1，2）是減函數
∴f（x）在（0，2]的最大值為f（1）=-
若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等價于函數f（x）在（0，2]的最大值-不大于g（x）在[1，2]的最大值
下面求g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值
∵g（x）=x²-bx+1的對稱軸是直線
①當，即b≤3時，g（x）在[1，2]為增函數，則g（x）_max=g（2）=5-2b，
∴，∴b≤，滿足b≤3；
②當，即b＞3時，g（x）在[1，2]為減函數，則g（x）_max=g（1）=2-b，
∴，∴b≤，∴3＜b≤，
綜上，實數b的取值范圍為b≤．
分析：（1）求導數，利用曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，即可求得a的值；
（2）若a=1時，利用導數的正負可得y=f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數；
若a≠1時，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=，結合函數的定義域分類討論，即可求得結論；
（3）當時，f（x）在（0，2]的最大值為f（1）=-，若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等價于函數f（x）在（0，2]的最大值-不大于g（x）在[1，2]的最大值，利用配方法確定函數g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值，即可得到實數b的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．