Question

【題目】已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3）、B（4，0），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分線所在的直線l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3）、B（4，0），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，

∴設(shè)橢圓C的方程為 =1，a＞b＞0，

則 ，解得a2=16，b2=12，

∴橢圓C的方程為 ．

（2）解：∵橢圓C的方程為 ，

∴F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），則直線AF1的方程為y= ，即3x﹣4y+6=0，

直線AF2的方程為x=2，由點(diǎn)A在橢圓C上的位置得直線l的斜率為正數(shù)，

設(shè)P（x，y）為直線l上一點(diǎn)，則 =|x﹣2|，

解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率為負(fù)，舍），

∴直線l的方程為2x﹣y﹣x=0，

由 ，整理，得19x2﹣16x﹣44=0，

設(shè)直線l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M（x0，y0），

則有 ，解得 ， ，

∴直線l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為 =1，a＞b＞0，利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程．（2）直線AF1的方程為3x﹣4y+6=0，求出直線l的方程為2x﹣y﹣x=0，與橢圓聯(lián)立，得19x2﹣16x﹣44=0，由此利用韋達(dá)定理能求出直線l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．