Question

已知函數y=f（x）存在反函數，定義：若對給定的實數a（a≠0），函數y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數，則稱y=f（x）滿足“a和性質”．
（1）判斷函數g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質”，說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質”的一次函數．

Answer 1

分析：（1）根據y=f（x）滿足“a和性質”的定義可先根據求反函數的步驟求出g′(x)=

x-1

進而求出g′(x+1)=

x

①；再根據g（x）=x²+1（x＞0）求出g（x+1）=（x+1）²+1（x＞0）進而求出g（x+1）的反函數即g^′（x+1）②然后比較①②是否相同進而可根據定義得出結論．
（2）設所有滿足“2和性質”的一次函數為f（x）=kx+b（k≠0）然后求出f^′（x）進而求出f^′（x+2）；再根據f（x+2）求出f^′（x+2）然后兩者相等求出k，b所滿足的條件．

解答：解：（1）不是；
∵g（x）=x²+1（x＞0）
∴y=g（x+1）=（x+1）²+1（x＞0）
∴x+1=

y-1

∴x=

y-1

-1
∴y=

x-1

-1即g′(x+1)=

x-1

-1(x＞2)①
∵g′(x)=

x-1

，，
∴g′(x+1)=

x

與①不符故函數g（x）=x²+1（x＞0）不滿足“1和性質”
（2）設所有滿足“2和性質”的一次函數為f（x）=kx+b（k≠0）
     則f^′（x）=

x-b

k

∴f′(x+2)=

x+2-b

k

∵f（x+2）=k（x+2）+b
∴f′(x+2)=

x-2k-b

k

∴

x+2-b

k

=

x-2k-b

k

∴k=-1
∴f（x）=-x+b

點評：本題主要考查了反函數的有關知識．解題的關鍵是要對“a和性質”理解透徹同時要對求反函數的步驟熟練（①反解求x②將x，y對調③標明反函數的定義域（即為原函數的值域））！