Question

長度為a（a＞0）的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動，點P在線段AB上，且

AP

=λ

PB

（λ為常數且λ＞0）．
（I）求點P的軌跡方程C，并說明軌跡類型；
（II）當λ=2時，已知直線l₁與原點O的距離為

a

2

，且直線l₁與軌跡C有公共點，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求點P的軌跡方程，設點P（x，y），只須求出其坐標x，y的關系式即可，由題意知點P滿足于

AP

=λ

PB

得到一個關系式，再結合線段AB的長度為a（a＞0）化簡即得點P的軌跡方程，最后對參數λ進行討論來判斷軌跡是什么圖形即可．
（II）設直線l₁的方程：y=kx+h，先由直線l₁與原點O的距離為

a

2

，得出h與k的關系，再將直線方程代入（1）中的方程，利用根的判別式△=9（4+k²）a²-81h²≥0即可求出斜率k的取值范圍．

解答：解：（I）設P（x，y）、A（x₀，0）、B（0，y₀），
則

AP

=λ

PB

?

x-x0=-λx y=λ(y0-y)

?

x0=(1+λ)x y0= 1+λ λ y

，
由此及|AB|=a?x₀²+y₀²=a²，得[(1+λ)x]2+[(

1+λ

λ

)y]2=a2，
即x2+

y2

λ2

=(

a

1+λ

)2．（*）（3分）
①當0＜λ＜1時，方程（*）的軌跡是焦點為(±

1-λ 1+λ

a，0)，
長軸長為

2

1+λ

a的橢圓；
②當λ＞1時，方程（*）的軌跡是焦點為(0，±

-1+λ 1+λ

a)，
長軸長為

2λ

1+λ

a的橢圓；
③當λ=1時，方程（*）的軌跡是焦點為以O點為圓心，

a

2

為半徑的圓． （6分）
（II）設直線l₁的方程：y=kx+h，
據題意有

|h|

1+k2

=

a

2

，即|h|=

a

2

1+k2

． （9分）
由

y=kx+h 9x2+ 9 4 y2=a2

得9(1+

k2

4

)x2+

9

2

khx+

9

4

h2-a2=0．
因為直線l₁與橢圓9x2+

9

4

y2=a2有公共點，
所以△=9（4+k²）a²-81h²≥0，又把|h|=

a

2

1+k2

代入上式，
得k2 ≤

7

5

，∴-

35

5

≤k≤

35

5

． （12分）

點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．