Question

平面內有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點，求證：這n條直線把平面分割成（n2+n+2）塊．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：直接利用數學歸納法的證題步驟證明，（1）驗證n=1時命題的正確性；（2）通過假設n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也正確即可．

證明：（1）當n=1時，1條直線把平面分成2塊，又（12+1+2）=2，命題成立．

（2）假設n=k時，k≥1命題成立，即k條滿足題設的直線把平面分成（k2+k+2）塊，

那么當n=k+1時，第k+1條直線被k條直線分成k+1段，

每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k+1個平面塊．

所以k+1條直線把平面分成了（k2+k+2）+k+1=[（k+1）2+（k+1）+2]塊，

這說明當n=k+1時，命題也成立．

由（1）（2）知，對一切n∈N*，命題都成立．