Question

已知二次函數的圖象過點（-3，0），（1，0），且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數的表達式．

Answer 1

分析：解法一：設函數為交點式，利用二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，可得函數解析式；
解法二：設函數為頂點式，利用函數圖象過點（1，0），可得函數解析式．

解答：解法一：∵二次函數的圖象過點（-3，0），（1，0），
∴可設二次函數為y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
展開，得 y=ax²+2ax-3a，
頂點的縱坐標為 

-12a2-4a2

4a

=-4a，
由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，
∴|-4a|=2，即a=±

1

2

．
所以，二次函數的表達式為y=

1

2

x2+x-

3

2

，或y=-

1

2

x2-x+

3

2

．
解法二：∵二次函數的圖象過點（-3，0），（1，0），
∴對稱軸為直線x=-1．
又頂點到x軸的距離為2，
∴頂點的縱坐標為2，或-2．
于是可設二次函數為y=a（x+1）²+2，或y=a（x+1）²-2，
由于函數圖象過點（1，0），
∴0=a（1+1）²+2，或0=a（1+1）²-2．
∴a=-

1

2

，或a=

1

2

．
所以，所求的二次函數為y=-

1

2

（x+1）²+2，或y=

1

2

（x+1）²-2．

點評：本題考查函數解析式的求法，解題的關鍵是正確設出函數的解析式，屬于基礎題．