Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，離心率e=，在x軸負半軸上有一點B，且。    

（1）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程；    
（2）在（1）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點p（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）





所求橢圓方程為。
（2）由（1）知F₂（1，0），
設的方程為：
將直線方程與橢圓方程聯立，得   
①代入②，得
設交點為  
因為  則
若存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，
由于菱形對角線垂直，則
又，
∵的方向向量是，
故

由已知條件知且，

故存在滿足題意的點且的取值范圍是。